Racine cubique entière, irrationnelle ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Montrer que si \(\sqrt[3]{n}\) est rationnel, alors c'est un entier.

Solution

Par définition, le nombre \(\sqrt[3]{n}\) est solution de l'équation \(x^3-n=0\) .

Notons \(\alpha=\sqrt[3]{n}\)  et supposons que \(\alpha\) est un nombre rationnel. Alors il existe \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^\ast\) premiers entre eux tels que \(\alpha=\dfrac{p}{q}\) .

On a donc
\(\begin{align*}\alpha^3-n=0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{p^3}{q^3}-n=0\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^3-nq^3=0\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^3=nq^3=q \times nq^2\end{align*}\)   

et par conséquent  \(q\) divise \(p^3\) . Or \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, \(q\) divise \(p^2\) .

En appliquant de nouveau le théorème de Gauss, \(q\) divise \(p\) .

En appliquant (encore !) le théorème de Gauss, \(q\) divise \(1\) et donc \(q=1\) .

Finalement :  \(\alpha=\dfrac{p}{1}=p \in \mathbb{Z}\) .